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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_title=Factorisation d'un trinme du second degr dans <b>R</b>
!set gl_keywords=
!set gl_level=H5
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<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
Soit <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>f</mi>
  <mo>:</mo><mi>x</mi><mo>&#8614;</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <msup>
     <mi>x</mi>

     <mn>2</mn>
    </msup>
   </mrow>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
     <mi>b</mi>

     <mo>&#8290;</mo>
     <mi>x</mi>
    </mrow>

   <mo>+</mo>
      <mi>c</mi>
  </mrow>
 </mrow>
</math> une fonction trinme du second degr o \(a\) est un nombre rel non nul, \(b\), \(c\) sont deux nombres rels, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
  <mi fontstyle='normal' fontfamily='TimesNewRoman'>&#916;</mi></math> son discriminant et (E) l'quation <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>

   <mrow>
    <mrow>
     <mi>a</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
     <msup>
      <mi>x</mi>
      <mn>2</mn>
     </msup>
    </mrow>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>c</mi>
   </mrow>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </mrow>
</math>.
<ul>
<li>si <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal' fontfamily='TimesNewRoman'>&#916;</mi>
  <mo>&lt;</mo>
  <mn>0</mn>
 </mrow>
</math>, alors l'quation (E) n'a pas de solution dans <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
     <mrow>

      <mi>&#8477;</mi>
     </mrow>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>f</mi>
  <mo>&#8289;</mo>
  <mo>(</mo>
  <mi>x</mi>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math> ne peut pas tre factoris dans <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi>&#8477;</mi>
</math> ; </li>
    <li>si <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal' fontfamily='TimesNewRoman'>&#916;</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </mrow>
</math>, alors l'quation (E) a dans <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
     <mrow>

      <mi>&#8477;</mi>
     </mrow>
</math> une unique solution <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>x</mi>
  <mn>0</mn>
 </msub>
</math> et, pour tout rel \(x\) : <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mi>x</mi>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#8289;</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
     <mo>-</mo>
     <msub>
      <mi>x</mi>
      <mn>0</mn>
     </msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mn>2</mn>
  </msup>
 </mrow>
</math> ;


</li>
<li>si <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal' fontfamily='TimesNewRoman'>&#916;</mi>
  <mo>&gt;</mo>
  <mn>0</mn>
 </mrow>
</math>, alors l'quation (E) a dans <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
     <mrow>

      <mi>&#8477;</mi>
     </mrow>
</math> deux solutions distinctes <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>x</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>x</mi>
  <mn>2</mn>
 </msub>
</math> et, pour tout rel \(x\) : <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>f</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mi>x</mi>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>&#8289;</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
     <mo>-</mo>
     <msub>
      <mi>x</mi>
      <mn>1</mn>
     </msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mi>x</mi>
     <mo>-</mo>
     <msub>
      <mi>x</mi>
      <mn>2</mn>
     </msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
 </li>

</ul>
</div>
